회로문제입니다 유랑객님 답변

이페이지는 저항, 커페시터, 스위치가 연결되는 부분을 노드 'a'로 보고 키르히호프의 전류법칙을 적용하여 (1)번 수식이 나오는 겁니다. (2)번은 커페시터에 흐르는 전류를 수식으로 표현 한것입니다.
이후 계산과정은 대수식이기 때문에 이해가 되실겁니다.
2번째 페이지는 미분방정식을 푸는 것으로 설명은 생략하겠습니다.

(3)번 수식은 커페시터에 저장된 에너지를 구하는 공식입니다. 즉 커페시터의 용량과 저장된 전압을 알면 에너지를 (3)번 공식에 대입만하면 구할수 있습니다.
문제에 정상상태(steady state)라는 것은 시간이 일정시간이 지난후에 더이상 전압과 전류가 변동되지 않는 상태를 이야기 합니다. 여기서는 스위치가 On되고 난후 무한대의 시간이 흐른시점을 정상상태라고 정의가 됩니다.
(4)는 (a)문제에서 스위치가 On되었을때의 커페시터 양단의 전압변화를 KCL과 미분방적식을 풀어 구한 값입니다.
이 값을 (3)에 대입하여 t가 무한대가 되었을때의 수식이 (5)번입니다.(여기서 V는 전원전압 22V를 의미합니다.)

(6)번 수식은 스위치가 Off일때의 커페시터 양단의 전압변화를 나타내는 수식입니다. 구하는 방법은 1페이지의(1)번 식에서 3번째항을 0으로 하고, 대수식을 풀고, 미분방정식을 풀면 구할수 있습니다.
(6)번식을 (7)번식에 대입하고 에 t를 무한대로(정상상태)로 정리하면 (8)번 식이 됩니다. 여기에 회로 시정수를 대입하면
커페시터에 저장된 에너지를 구할수 있습니다.

위의 방법이 정식으로 풀이하는 방법이나, 문제에서 정상상태(t가 무한대)라는 조건이 있어 이것을 이용하면 쉽게 풀립니다.
(a) 스위치 On일경우 두저항에 의하여 정상상태일 때의 커페시터에 걸리는 전압은 22v의 1/2입니다. 그러므로 커페시터에 저장된 에너지를 구하는 수식 (7)에 의하여 U= 1/2 x 4uF x 11V x 11V = 2.42 x 10 ^-4 J 이 됩니다.
(b) 스위치 Off일경우 정상상태일 때의 커페시터에 걸리는 전압은 22v입니다. 그러므로 커페시터에 저장된 에너지를 구하는 수식 (7)에 의하여 U= 1/2 x 4uF x 22V x 22V = 9.68 x 10 ^-4 J 이 됩니다.

풀이 방법과 같이 KCL을 적용하고 미분방정식을 풀이하는 경우는 t가 무한대가 아닐때 사용하는 방법입니다.
그럼 열공하세요.